Question

商場現有某商品1320件，每件成本110元，如果每件售價200元，每天可銷售40件．節日期間，商場決定降價促銷，根據市場信息，單價每降低3元，每天可多銷售2件．
（1）每件售價多少元，商場銷售這一商品每天的利潤最大？
（2）如果商場決定在節日期間15天內售完，在不虧本的前提下，每件售價多少元，商場銷售這一商品每天的銷售額最大？

Answer 1

解：（1）設每件售價x元，每天銷售利潤y₁元．依題意得：
y₁=（x-110）×[40+×（200-x）]=×（-x²+370x-28600）=[-（x-185）²+5625]
當x=185時，y₁有最大值3750元．

（2）設每件售價x元，每天銷售額y₂元，
依題意，y₂=x×[40+×（200-x）]，
其中
即y₂=[-（x-130）²+16900]，其中110≤x≤128，
因為y₂在區間[110，128]內單調增加，所以x=128時y₂有最大值11264元
答：（1）每件售價185元，商場銷售這一商品每天的利潤最大；（2）在不虧本的前提下，每件售價128元，商場銷售這一商品每天的銷售額最大．
分析：（1）設出每件售價x元，每天銷售利潤y₁元，根據利潤=售價-成本得到y₁與x的函數關系式，利用二次函數求最大值的方法得到此時x的值即可；
（2）設每件售價x元，每天銷售額y₂元，根據銷售額=每件的銷售價×賣的件數得到y₂與x的函數關系式，找出自變量x的取值范圍，求出二次函數的最大值時x的值即可．
點評：考查學生會根據實際問題選擇合適的函數類型，會求二次函數在閉區間內最值來解決數學問題．注意y₂求最大值時，二次函數的頂點取不到，應根據單調性來求．