Question

如圖所示，圓柱的高為2，底面半徑為,AE、DF是圓柱的兩條母線，過作圓柱的截面交下底面于,四邊形ABCD是正方形.

（Ⅰ）求證；
（Ⅱ）求四棱錐E-ABCD的體積.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）根據AE是圓柱的母線，所以下底面，又下底面，則 
又截面ABCD是正方形，所以⊥，又⊥面，又面，即可得到BC⊥BE；
（Ⅱ）根據錐體的體積公式即可求四棱錐E-ABCD的體積．
試題解析：（Ⅰ）AE是圓柱的母線，
下底面，又下底面，           .3分
又截面ABCD是正方形，所以⊥，又
⊥面，又面，             （7分）
（Ⅱ）因為母線垂直于底面，所以是三棱錐的高      （8分），
由（Ⅰ）知⊥面，面，面⊥面，
又面面，面，
面，即EO就是四棱錐的高       （10分）
設正方形的邊長為, 則，
又，為直徑，即
在中，,   即
，                          （12分）


考點：1.棱柱、棱錐、棱臺的體積；2.空間中直線與直線之間的垂直關系．