Question

（2013•廣西一模）已知函數f（x）=

1-sin2x

1-cos2( π 2 -x)

（1）若tanx=-2，求f（x）的值
（2）求函數y=cotx[f（x）]的定義域和值域．

Answer 1

分析：（1）利用誘導公式、二倍角公式和同角三角函數的基本關系，將f（x）化簡可得f（x）=tan²x-2tanx+1，代入tanx=-2即可得到f（x）的值；
（2）利用同角三角函數的基本關系，化簡得y=cotx[f（x）]=tanx+cotx-2，根據正切、余切函數的定義域，算出x的取值范圍，即得函數的定義域；最后根據基本不等式求最值，可得函數的值域．

解答：解：（1）f（x）=

1-sin2x

1-cos2( π 2 -x)

=

(sinx-cosx)2

1-sin2x

=

sin2x-2sinxcosx+cos2x

cos 2x

∴f（x）=tan²x-2tanx+1
∵tanx=-2，
∴f（x）=（-2）²-2×（-2）+1=9；
（2）y=cotx[f（x）]=cotx（tan²x-2tanx+1）=tanx+cotx-2
∵要使tanx、cotx有意義，須滿足x≠

π

2

+kπ且x≠kπ，k∈Z
∴函數y=cotx[f（x）]的定義域為{x|x≠

1

2

kπ，k∈Z}
∵|tanx+cotx|≥2

tanx•cotx

=2
∴tanx+cotx≥2或tanx+cotx≤-2
由此可得y=tanx+cotx-2的取值范圍為（-∞，-4]∪[0，+∞）
綜上所述，函數y=cotx[f（x）]的定義域是{x|x≠

1

2

kπ，k∈Z}，值域為（-∞，-4]∪[0，+∞）．

點評：本題通過一個三角函數式的化簡求值，考查了三角函數中的恒等變換應用函數的定義域與值域求法等知識，屬于中檔題．