Question

【題目】如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD=AB，∠ABC=60°，將三角形ABD沿BD折起，使點A在平面BCD上的投影G落在BD上．
（1）求證：平面ACD⊥平面ABD；
（2）求二面角G﹣AC﹣D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在等腰梯形ABCD中，∵AD∥BC，AD=CD=AB，∠ABC=60°，∴∠BAD=120°，從而∠ABD=∠ADB=30°，可得∠BDC=90°，

在三棱錐A﹣BCD中，∵點A在平面BCD上的投影G落在BD上，∴AG⊥BD，于是G為BD中點．

∵ ∴CD⊥面ABD，又CD面ADC，∴平面ACD⊥平面ABD

（2）解：由（1）得AG⊥面BCD，且G為BD中點，CD⊥面ABD，

取BC中點M，則MG∥CD，于是以G為原點，建立如圖的空間直角坐標系G﹣xyz，

設AB=1，則BD= ，BC=2，CD=1，于是A（0，0， ），B（ ，0，0）．，C（﹣ ，1，0），D（﹣ ，0，0）

， ．

設面AGC的法向量為 ，由 ，取 ，

設面ADC的法向量為 ，由 ，取

cos＜ ， ＞= ．

二面角G﹣AC﹣D的平面角的余弦值為

【解析】（1）在等腰梯形ABCD中，可得∠ABD=∠ADB=30°，∠BDC=90°，在三棱錐A﹣BCD中，由點A在平面BCD上的投影G落在BD上，得CD⊥面ABD，又CD面ADC，即平面ACD⊥平面ABD；（2）取BC中點M，則MG∥CD，于是以G為原點，建立如圖的空間直角坐標系G﹣xyz，設AB=1，則BD= ，BC=2，CD=1，于是A（0，0， ），B（ ，0，0），C（﹣ ，1，0），D（﹣ ，0，0），利用法向量求解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．