Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx﹣ x2﹣x+a（a∈R）在其定義域內有兩個不同的極值點．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）設兩個極值點分別為x1 ， x2 ， 證明：x1x2＞e2 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知，函數f（x）的定義域為（0，+∞），

方程f′（x）=0在（0，+∞）有兩個不同根；

即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個不同根；

（解法一）轉化為函數y=lnx與函數y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點，

如右圖．

可見，若令過原點且切于函數y=lnx圖象的直線斜率為k，只須0＜a＜k．

令切點A（x0，lnx0），

故k=y′|x=x0= ，又k= ，

故 = ，

解得，x0=e，

故k= ，

故0＜a＜ ．

（解法二）轉化為函數g（x）= 與函數y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點．

又g′（x）= ，

即0＜x＜e時，g′（x）＞0，x＞e時，g′（x）＜0，

故g（x）在（0，e）上單調增，在（e，+∞）上單調減．

故g（x）極大=g（e）= ；

又g（x）有且只有一個零點是1，且在x→0時，g（x）→﹣∞，在在x→+∞時，g（x）→0，

故g（x）的草圖如右圖，

可見，要想函數g（x）= 與函數y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點，

只須0＜a＜ ．

（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，從而轉化為函數g（x）有兩個不同零點，

而g′（x）= ﹣ax= （x＞0），

若a≤0，可見g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）單調增，

此時g（x）不可能有兩個不同零點．

若a＞0，在0＜x＜ 時，g′（x）＞0，在x＞ 時，g′（x）＜0，

所以g（x）在（0， ）上單調增，在（ ，+∞）上單調減，從而g（x）極大=g（ ）=ln ﹣1，

又因為在x→0時，g（x）→﹣∞，在在x→+∞時，g（x）→﹣∞，

于是只須：g（x）極大＞0，即ln ﹣1＞0，所以0＜a＜ ．

綜上所述，0＜a＜ ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知x1，x2分別是方程lnx﹣ax=0的兩個根，

即lnx1=ax1，lnx2=ax2，

設x1＞x2，作差得ln =a（x1﹣x2），即a=

原不等式 等價于ln ＞ ，

令 ，則t＞1， ，

設 ， ，

∴函數g（t）在（1，+∞）上單調遞增，

∴g（t）＞g（1）=0，

即不等式 成立，

故所證不等式 成立．

【解析】（Ⅰ）將函數f（x）在其定義域內有兩個不同的極值點轉化為其導函數在（0，+∞）有兩個不同根進行解題；（Ⅱ）將問題變為對函數增減性的證明，可以先從所要證的結論出發進行分析，進而證明.
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．