Question

【題目】四棱錐S－ABCD的底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2BC＝2CD＝2，△SAD為正三角形．

（Ⅰ）點M為棱AB上一點，若BC∥平面SDM，AM＝λAB，求實數λ的值；

（Ⅱ）若BC⊥SD，求二面角A－SB－C的余弦值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由線面平行的性質定理可得，據此可知四邊形BCDM為平行四邊形，據此可得.

（Ⅱ）由幾何關系，在平面內過點作直線于點，以點E為坐標原點，EA方向為X軸，EC方向為Y軸，ES方向為Z軸建立空間坐標系，據此可得平面的一個法向量，平面的一個法向量，據此計算可得二面角余弦值為.

（Ⅰ）因為平面SDM, 平面ABCD,平面SDM 平面ABCD=DM,所以，

因為,所以四邊形BCDM為平行四邊形，又,所以M為AB的中點.

因為 .

（Ⅱ）因為 ， ，所以平面，又因為平面，

所以平面平面，平面平面，

在平面內過點作直線于點，則平面，

在和中，因為，所以，

又由題知，所以所以，

以下建系求解.以點E為坐標原點，EA方向為X軸，EC方向為Y軸，ES方向為Z軸建立如圖所示空間坐標系，

則，，，，，

，，，，

設平面的法向量，則，所，

令得為平面的一個法向量，

同理得為平面的一個法向量，

，因為二面角為鈍角.

所以二面角余弦值為.

【點睛】

本題考查了立體幾何中的判斷定理和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化，通過嚴密推理，明確角的構成.同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.

【題型】解答題
【結束】
19

【題目】小明在石家莊市某物流派送公司找到了一份派送員的工作，該公司給出了兩種日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一單獎勵1元；乙方案：底薪140元，每日前55單沒有獎勵，超過55單的部分每單獎勵12元．

（Ⅰ）請分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y（單位：元）與送貨單數n的函數關系式；

（Ⅱ）根據該公司所有派送員100天的派送記錄，發現派送員的日平均派送單數滿足以下條件：在這100天中的派送量指標滿足如圖所示的直方圖，其中當某天的派送量指標在（，]（n＝1，2，3，4，5）時，日平均派送量為50＋2n單．若將頻率視為概率，回答下列問題：

①根據以上數據，設每名派送員的日薪為X（單位：元），試分別求出甲、乙兩種方案的日薪X的分布列，數學期望及方差；

②結合①中的數據，根據統計學的思想，幫助小明分析，他選擇哪種薪酬方案比較合適，并說明你的理由。

（參考數據：0．62＝0．36，1．42＝1．9 6，2．6 2＝6．76，3．42＝1 1．56，3．62＝12．96，4．62＝21．16，15．62＝243．36，20．42＝416．16，44．42＝1971．36）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）甲方案的函數關系式為： ，乙方案的函數關系式為：；（Ⅱ）①見解析，②見解析.

【解析】

（Ⅰ）由題意可得甲方案中派送員日薪（單位：元）與送單數的函數關系式為： ， 乙方案中派送員日薪（單位：元）與送單數的函數關系式為：.

（Ⅱ）①由題意求得X的分布列，據此計算可得，，.

②答案一：由以上的計算可知，遠小于，即甲方案日工資收入波動相對較小，所以小明應選擇甲方案.

答案二：由以上的計算結果可以看出，，所以小明應選擇乙方案.

（Ⅰ）甲方案中派送員日薪（單位：元）與送單數的函數關系式為： ，

乙方案中派送員日薪（單位：元）與送單數的函數關系式為：

（Ⅱ）①由已知，在這100天中，該公司派送員日平均派送單數滿足如下表格：

單數	52	54	56	58	60
頻率	0.2	0.3	0.2	0.2	0.1

所以的分布列為：

	152	154	156	158	160
	0.2	0.3	0.2	0.2	0.1

所以

所以的分布列為：

	140	152	176	200
	0.5	0.2	0.2	0.1

所以

②答案一：由以上的計算可知，雖然，但兩者相差不大，且遠小于，即甲方案日工資收入波動相對較小，所以小明應選擇甲方案.

答案二：由以上的計算結果可以看出，，即甲方案日工資期望小于乙方案日工資期望，所以小明應選擇乙方案.