Question

【題目】已知二次函數f（x）滿足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若關于x的方程f（x）=x+m有區間（﹣1，2）上有唯一實數根，求實數的取值范圍（注：相等的實數根算一個）．

Answer 1

【答案】
（1）解：設f（x）=ax2+bx+c（a≠0），代入f（x+1）﹣f（x）=2x，

得2ax+a+b=2x，對于x∈R恒成立，故 ，又由f（0）=1，得c=1，

解得a=1，b=﹣1，c=1，∴f（x）=x2﹣x+1．

（2）解：由方程f（x）=x+m得x2﹣2x+1﹣m=0，令h（x）=x2﹣2x+1﹣m，x∈（﹣1，2），

即要求函數h（x）在（﹣1，2）上有唯一的零點，

①h（﹣1）=0，則m=4，代入原方程得x=﹣1或3，不符合題意；

②若h（2）=0，則m=1，代入原方程得x=0或2，滿足題意，故m=1成立；

③若△=0，則m=0，代入原方程得x=1，滿足題意，故m=0成立；

④若m≠4且m≠1且m≠0時，由 得1＜m＜4．

綜上，實數m的取值范圍是{0}∪[1，4）．

【解析】（1）根據二次函數f（x）滿足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1，利用待定系數法，可得f（x）的解析式；（2）若關于x的方程f（x）=x+m有區間（﹣1，2）上有唯一實數根，則函數h（x）在（﹣1，2）上有唯一的零點，分類討論，可得實數m的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的概念及其構成要素(函數三要素是定義域，對應法則和值域，而定義域和對應法則是起決定作用的要素，因為這二者確定后，值域也就相應得到確定，因此只有定義域和對應法則二者完全相同的函數才是同一函數)，還要掌握二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)的相關知識才是答題的關鍵．