Question

(本小題滿分12分) 已知點，直線及圓.
(1)求過點的圓的切線方程；
(2)若直線與圓相切，求的值；
(3)若直線與圓相交于兩點，且弦的長為，求的值．

Answer 1

(1) x＝3或3x－4y－5＝0.(2) a＝0或a＝. (3) a＝－.

解析試題分析：（1）研究過一點的圓的切線方程問題，要確定點的位置，是否為圓上的點，然后確定直線的斜率是否存在兩種情況分析得到結論。
（2）因為直線與圓相切，那么則有圓心到直線的距離等于圓的半徑，得到結論。
（3）結合圓的半徑和半弦長和弦心距的勾股定理求解得到參數的值。
解：(1)由題意可知M在圓(x－1)²＋(y－2)²＝4外，
故當x＝3時滿足與圓相切．          ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍1分
當斜率存在時設為y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0.
由＝2，∴k＝，        ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分
∴所求的切線方程為x＝3或3x－4y－5＝0. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分
(2)由ax－y＋4＝0與圓相切知＝2，  ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分
∴a＝0或a＝.                    ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍9分
(3)圓心到直線的距離d＝，         ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍10分
又l＝2，r＝2，                   
∴由r²＝d²＋()²，可得a＝－.         ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍12分
考點：本試題主要是考查了直線與圓的位置關系的綜合運用。重點是求解相切的情況，以及相交時的弦長問題的運用。
點評：解決該試題的關鍵是能利用直線與圓的位置關系的判定，那就是圓心到直線的距離和原點半徑的關系來得到關系式，進而求解。