Question

在正方體中，分別的中點.

（1）求證：；
（2）已知是靠近的的四等分點，求證：.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析

解析試題分析：（1）用普通方法不容易證且為正方體故選用空間向量法。先建立空間直角坐標系，設出正方體的邊長得各點的坐標。用向量垂直證線線垂直，再根據線面垂直的定義證得線面垂直。（2）由（1）可知，用向量證得，即,再根據線面平行的判定定理證得線面平行。
試題解析：證明：如圖所示，建立空間直角坐標系.

設正方體的棱長為.
∵分別的中點，
∴，，
，.                       1分
（1）∵，∴.    2分
∵，，，
∴，.      3分
∵，
，
∴，.                      5分
∵是平面上的兩條相交直線，∴.     6分
（2）∵是靠近的的四等分點，∴.          7分
設，則，
∴，
∴.           9分
∴，∴，
∵，且不在平面內，∴.    12分
考點：空間向量法在立體幾何中的應用。