Question

將數列{a_n}中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如下數表．記表中第一列數a₁，a₂，a₄，a₇，…構成的數列為{b_n}，b₁=a₁=1．S_n為數列{b_n}的前n項和，且滿足2b_n=b_nS_n-S_n²（n≥2，n∈N^*）．
（1）證明數列{

1

Sn

}是等差數列，并求數列{b_n}的通項公式；
（2）圖中，若從第三行起，每一行中的數按從左到右的順序構成等比數列，且公比為同一個正數．當a₈₁=-

4

91

時，求上表中第k（k≥3）行所有數的和．

Answer 1

分析：（1）由n≥2時，2b_n=b_nS_n-S_n²，得2（S_n-S_n-1）=（S_n-S_n-1）S_n-Sn2=-S_nS_n-1，兩邊同除以S_nS_n-1整理后得

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，由此可知數列{

1

Sn

}是等差數列，從而可求得S_n，根據S_n與b_n的關系可求得b_n；
（2）設上表中從第三行起，每行中的數構成的等比數列的公比都為q，且q＞0．易判斷a₈₁所在的行和列，借助b_n可求得公比q，再根據等比數列的求和公式可求得結果；

解答：解：（1）由已知，當n≥2時，2b_n=b_nS_n-S_n²，
又S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
∴2（S_n-S_n-1）=（S_n-S_n-1）S_n-Sn2=-S_nS_n-1，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，又S₁=b₁=a₁=1．
∴數列{

1

Sn

}是首項為1，公差為

1

2

的等差數列．  
∴

1

Sn

=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

，則Sn=

2

n+1

．
∴當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=

2

n+1

-

2

n

=-

2

n(n+1)

，
∴bn=

1，(n=1) - 2 n(n+1) ，(n≥2，n∈N*)

；
（2）設上表中從第三行起，每行中的數構成的等比數列的公比都為q，且q＞0．
∵1+2+…+12=

12×13

2

=78，
∴表中第1行至第12行共含有數列{a_n}的前78項，
故a₈₁在表中第13行第3列，∴a81=b13•q2=-

4

91

．
又b13=-

2

13×14

，∴q=2．                         
記表中第k（k≥3）行所有數的和為S_n，則
Sn=

bk(1-qk)

1-q

=-

2

k(k+1)

•

(1-2k)

1-2

=

2

k(k+1)

•(1-2k)(k≥3，k∈N*)．

點評：本題考查等差關系的確定、等比數列的通項公式及數列的求和，屬中檔題，考查學生分析問題解決問題的能力．