Question

將數列{a_n}中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如下表：
記表中的第一列數a₁，a₂，a₄，a₇，…，構成的數列為{b_n}，b₁=a₁=1，S_n為數列{b_n}的前n項和，且滿足

2bn

bnSn- S 2 n

=1(n≥2)．
（1）求證數列{

1

Sn

}成等差數列，并求數列{b_n}的通項公式；
（2）上表中，若a₈₁項所在行的數按從左到右的順序構成等比數列，且公比q為正數，求當a81=-

4

91

時，公比q的值．

Answer 1

分析：（1）由

2bn

bnSn- S 2 n

=1，知

2(Sn-Sn-1)

-Sn-1Sn

=1，所以

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，由此能夠推導出數列{b_n}的通項公式．
（2）因為1+2+3+…+12=

12×13

2

=78，所以表中第1行至第12行共含有數列{a_n}的前78項，故a₈₁在表中第13行第三列，由此能求出當a81=-

4

91

時，公比q的值．

解答：解：（1）由已知，當n≥2時，

2bn

bnSn- S 2 n

=1，又b_n=S_n-S_n-1，（1分）
所以

2(Sn-Sn-1)

(Sn-Sn-1)Sn- S 2 n

=1．（2分）
即

2(Sn-Sn-1)

-Sn-1Sn

=1，所以

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，（4分）
又S₁=b₁=a₁=1，所以數列{

1

Sn

}是首項為1，公差為

1

2

的等差數列．（5分）
所以

1

Sn

=

1

S1

+

1

2

(n-1)=

n+1

2

，即Sn=

2

n+1

．（7分）
所以，當n≥2時，bn=Sn-Sn-1=

2

n+1

-

2

n-1+1

=-

2

n(n+1)

，（9分）
因此bn=

1(n=1) - 2 n(n+1) (n≥2).

（10分）
（2）因為1+2+3+…+12=

12×13

2

=78，
所以表中第1行至第12行共含有數列{a_n}的前78項，故a₈₁在表中第13行第三列．（12分）
所以，a81=b13q2=-

4

91

，（13分）
又b13=-

2

13×14

，所以q=2．（14分）

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要靈活運用數列通項公式的求解方法，合理地利用遞推公式，仔細審題，認真解答．