Question

（本小題滿分14分）
如圖，在三棱柱中，每個側面均為正方形，為底邊的中點，為側棱的中點.
（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）直線與平面所成角的正弦值為

證明：（Ⅰ）設的交點為O,連接，連接.

因為為的中點，為的中點,
所以∥且.又是中點，
所以 ∥且,
所以 ∥且.
所以，四邊形為平行四邊形.所以∥.
又平面,平面,則∥平面.  ………………5分
(Ⅱ)因為三棱柱各側面都是正方形，所以，.
所以平面.
因為平面，所以.
由已知得，所以,
所以平面.
由（Ⅰ）可知∥，所以平面.
所以.
因為側面是正方形，所以.
又，平面，平面,
所以平面.               ………………………………………10分
（Ⅲ）解: 取中點，連接. 
在三棱柱中，因為平面，    
所以側面底面.
因為底面是正三角形，且是中點，
所以，所以側面.
所以是在平面上的射影.
所以是與平面所成角.
.           …………………………………………14分
解法二：如圖所示，建立空間直角坐標系.
設邊長為2，可求得，,
，，，，
，，.
（Ⅰ）易得，，
. 所以，所以∥.
又平面,平面,則∥平面. ………………5分
（Ⅱ）易得，，，
所以.
所以
又因為，，
所以平面.           …………………………………………… 10分
（Ⅲ）設側面的法向量為,
因為, ,，，
所以，.
由 得解得
不妨令，設直線與平面所成角為．
所以.
所以直線與平面所成角的正弦值為．………………………14分