Question

（2013•嘉定區一模）如圖，已知橢圓

x2

16

+

y2

7

=1的左、右頂點分別為A、B，右焦點為F．設過點T（t，m）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0．
（1）設動點P滿足|PF|²-|PB|²=3，求點P的軌跡；
（2）若x₁=3，x2=

1

2

，求點T的坐標．

Answer 1

分析：（1）由橢圓標準方程求出B和F點的坐標，設出動點P的坐標，然后直接由關系式|PF|²-|PB|²=3求點P的軌跡；
（2）題目給出了M和N點的橫坐標，把兩個點的坐標代入橢圓方程求得兩個點的縱坐標，然后求出經過A、M和B、N的兩條直線方程，則點T的坐標可求．

解答：解：（1）由已知得a=4，b=

7

，c=3，
則B（4，0），F（3，0），
設P（x，y），
由|PF|²-|PB|²=3，得[（x-3）²+y²]-[（x-4）²+y²]=3，
化簡得，x=5．
所以動點P的軌跡是直線x=5．
（2）由x₁=3，x2=

1

2

，則M（3，y₁），N(

1

2

 ， y2)
將M（3，y₁）和N(

1

2

 ， y2)代入

x2

16

+

y2

7

=1得，

9 16 + y 2 1 7 =1 1 64 + y 2 2 7 =1

，
解得

y 2 1 = 49 16 y 2 2 = 441 64

，
因為y₁＞0，y₂＜0，所以y1=

7

4

，y2=-

21

8

．
所以M(3 ， 

7

4

)，N(

1

2

 ， -

21

8

)．
又因為A（-4，0），B（4，0），
所以直線MA的方程為y=

1

4

(x+4)，直線NB的方程為y=

3

4

(x-4)．
由

y= 1 4 (x+4) y= 3 4 (x-4)

，
解得

x=8 y=3

．
所以點T的坐標為（8，3）．

點評：本題考查了圓錐曲線的軌跡問題，考查了利用代入法求點的坐標，考查了過兩點的直線方程的求法，考查了計算能力，此題屬中檔題．