Question

【題目】已知A，B是橢圓C：)的左右頂點，P點為橢圓C上一點，點P關于x軸的對稱點為H，且

（1）若橢圓C經過了圓的圓心，求橢圓C的標準方程；

（2）在（1）的條件下，拋物線D：的焦點F與點關于y軸上某點對稱，且拋物線D與橢圓C在第四象限交于點Q，過點Q作直線與拋物線D有唯一公共點，求該直線與兩坐標軸圍成的三角形面積.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）結合斜率公式及橢圓C經過了圓的圓心，求出，即可得解；

（2）聯立拋物線方程及橢圓方程求出交點坐標，然后設直線方程為，聯立直線方程與拋物線方程，結合，解得，再分別求出橫、縱截距，再求三角形面積即可.

解：（1）設，因為，，

則點關于軸的對稱點，

則，，

因為，

所以，

所以，

又橢圓過圓的圓心，

所以，，

所以橢圓的標準方程為；

（2）由題意，拋物線焦點為，

故其方程為，

聯立方程組，解得或（舍去），

所以，

據題意，過點的直線，斜率存在且不為，

設直線方程為，

聯立方程組，

整理得，

由，解之得，

所以直線方程為.

即是.

令，得；

令，得.

故所求三角形的面積為.