Question

已知函數和函數，其中為參數，且滿足.
（1）若，寫出函數的單調區間（無需證明）；
（2）若方程在上有唯一解，求實數的取值范圍；
（3）若對任意，存在，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）的單調增區間為，，單調減區間為；（2）或；（3）.

解析試題分析：（1）當時，，由二次函數的圖像與性質可寫出函數的單調區間；（2）先將在上有唯一解轉化為在上有唯一解，進而兩邊平方得到或，要使時，有唯一解，則只須或即可，問題得以解決；（3）對任意，存在，使得成立的意思就是的值域應是的值域的子集，然后分別針對與兩種情形進行討論求解，最后將這兩種情況求解出的的取值范圍取并集即可.
試題解析：（1）時，                1分
函數的單調增區間為，，單調減區間為         4分
（2）由在上有唯一解
得在上有唯一解                    5分
即，解得或                      6分
由題意知或
即或
綜上，的取值范圍是或                      8分
（3）
則的值域應是的值域的子集                      9分
①時，在上單調遞減，上單調遞增，故  10分
在上單調遞增，故                11分
所以，即                            12分
②當時，在上單調遞減，故
在上單調遞減，上單調遞增，故