Question

已知f（x）=

3+x 1+x2 ，0≤x≤3 f(3)  ，x＞3

，
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若關于x的方程f（x）-a=0恰有一個實數解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導函數，求出f'（x）=0的兩個根，然后比較大小，確定a的范圍，最后根據f'（x）＞0的解集為增區間，f'（x）＜0的解集為減區間；
（2）先把關于x的方程f（x）-a=0只有一個解的問題轉化為函數y=f（x）與函數y=a的圖象只有一個交點，再利用函數y=f（x）的最大值，看函數y=a的圖象滿足什么條件時符合要求即可求出對應實數a的取值范圍．

解答：解：（1）當x＞3時，f（x）=f（3）是常數，不是單調函數；
當0≤x≤3時，f（x）=

3+x

1+x2

，求導，得f′（x）=-

x2+6x-1

(1+x2)2

，
由f′（x）＞0得，0＜x＜

10

-3，
所以，f（x）的單調遞增區間是（0，

10

-3），f（x）單調遞減區間是（

10

-3，3）．
（2）由（1）知，f（0）=3，f（x）最大值=f（

10

-3）=

10 +3

2

，f（3）=

3

5

，
方程f（x）=0恰有一個實數解，
等價于直線y=a與曲線y=f（x）恰有一個公共點，
∴a=

10 +3

2

或

3

5

＜a＜3．

點評：本試題考查了分段函數的單調性，以及函數與方程的思想，解決關于方程有實數解的問題的轉化與化歸能力．運用導數來判定函數單調區間，是我們對于超越函數的一般的研究方法，考查了同學們的基礎知識，基本技能和思維能力的綜合性．