Question

已知f 1(x)=|3x-1|，f2(x)=|a•3x-9|(a＞0)，x∈R，且f（x）=

f1(x)，f1(x)≤f2(x) f2(x)，f1(x)＞f2(x)

（1）當a=1時，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，若方程f（x）-m=0有4個不等的實根，求實數m的范圍；
（3）當2≤a＜9時，設f（x）=f₂（x）所對應的自變量取值區間的長度為l（閉區間[m，n]的長度定義為n-m），試求l的最大值．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，根據函數f₁（x）和函數f₂（x）的解析式以及條件f（x）=

f1(x)，f1(x)≤f2(x) f2(x)，f1(x)＞f2(x)

可得f（x）的解析式．
（2）在（1）的條件下，由題意可得，函數y=f（x）與直線y=m有4個不同的交點，數形結合可得實數m的范圍．
（3）由于2≤a＜9，分 x≥log3

9

a

時、當0≤x≤log3

9

a

時、當x＜0時，分別由 f₂（x）-f₁（x）≤0 求得x的范圍，再把所得的x的范圍取并集，從而得到區間長度l的解析式，
再根據函數的單調性求得l的最大值．

解答：解：（1）當a=1時，f₁（x）=

3x-1 ，  x≥0 1-3x ， x ＜0

，f₂（x）=

3x-9 ，  x≥2 9-3x ， x ＜2

，∴當x=log₃5時，f₁（x）=f₂（x）．
∴f（x）=

3x-9 ，  x≥2 9-3x ， log35＜x ＜2 3x-1  ， 0≤x＜log35 1-3x ， x＜0

．
（2）在（1）的條件下，若方程f（x）-m=0有4個不等的實根，則函數y=f（x）與直線y=m有4個不同的交點．
數形結合可得，0＜m＜1，故實數m的范圍是（0，1）．
（3）由于2≤a＜9，當 x≥log3

9

a

時，∵a•3^x-9≥0，3^x-1＞0，
∴由 f₂（x）-f₁（x）=（a•3^x-9）-（ 3^x-1）≤0 可得 x≤log3

8

a-1

，
從而當log3

9

a

≤x≤log3

8

a-1

時，f（x）=f₂（x）．
當0≤x≤log3

9

a

時，∵a•3^x-9＜0，3^x-1≥0，
∴由 f₂（x）-f₁（x）=-（a•3^x-9）-（ 3^x-1）=10-（a+1）3^x≤0 解得 x≥log3

10

a+1

，
從而當 log3

10

a+1

≤x≤log3

9

a

時，f（x）=f₂（x）．
當x＜0時，由 f₂（x）-f₁（x）=-（a•3^x-9）-（1-3^x）=8-（a-1）3^x＞0，故f（x）=f₂（x） 一定不成立．
綜上可得，當且僅當 x∈[log3

10

a+1

，log3

8

a-1

]時，有f（x）=f₂（x） 一定成立．
故 l=log3

8

a-1

-log3

10

a+1

=log3[

4

5

( 1+

2

a-1

)]，
從而當a=2時，l取得最大值為 log3

12

5

．

點評：本題主要考查對數函數、指數函數的圖象和性質綜合應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．