Question

已知數列{a_n}是以4為首項的正數數列，雙曲線a_n-1y²-a_nx²=a_n-1a_n的一個焦點坐標為(0，

cn

)(n≥2)，且c₁=6，一條漸近線方程為y=

2

x．
（1）求數列{c_n}（n∈N*）的通項公式；
（2）試判斷：對一切自然數n（n∈N*），不等式

1

c1

+

2

c2

+

3

c3

+…+

n

cn

+

n

3•2n

＜

2

3

是否恒成立？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先將雙曲線方程化成標準形式，再根據c²=a²+b²得出c_n=a_n+a_n-1，然后據漸近線方程得出數列{a_n}的通項公式，最后根據c_n=a_n+a_n-1求出所得．
（2）首先令Sn=

1

c1

+

2

c2

++

n

cn

=

1

3•2

+

2

3•22

++

n

3•2n

，然后利用數列的錯位求和法求出s_n，再比較大小．

解答：解：（1）∵雙曲線方程為a_n-1y²-a_nx²=a_n-1a_n
∴

y2

an

-

x2

an-1

=1
∵焦點坐標為(0，

cn

)(n≥2)
∴c_n=a_n+a_n-1
又∵漸近線方程得

an

an-1

=

2

∴

an

an-1

=2(n≥2)
∵a₁=4
∴數列{a_n}是首項為4，公比為2的等比數列
∴a_n=2ⁿ⁺¹
∴c_n=2ⁿ⁺¹+2ⁿ=3•2ⁿ（n≥2）
又∵c₁=6，也符合上式
∴c_n=3•2ⁿ（n∈N^*）
（2）令Sn=

1

c1

+

2

c2

++

n

cn

=

1

3•2

+

2

3•22

++

n

3•2n

①
則

1

2

Sn=

1

3•22

+

2

3•23

++

n

3•2n+1

②
1-②，得

1

2

Sn=

1

3•2

+

1

3•22

+

1

3•23

++

1

3•2n

-

n

3•2n+1

=

1

3

•

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

3•2n+1

∴S_n=2×[

1

3

(1-

1

2n

)-

n

3•2n+1

]
即Sn=

2

3

-

2

3•2n

-

n

3•2n

∴

1

c1

+

2

c2

+

3

c3

++

n

cn

+

n

3•2n

=

2

3

-

2

3•2n

-

n

3•2n

+

n

3•2n

=

2

3

-

2

3•2n

＜

2

3

即

1

c1

+

2

c2

+

3

c3

++

n

cn

+

n

3•2n

＜

2

3

∴對一切自然數n（n∈N*），不等式

1

c1

+

2

c2

+

3

c3

++

n

cn

+

n

3•2n

＜

2

3

恒成立．

點評：本題主要考查數列和解析幾何以及數列求和與不等式的綜合，特別要注意數列的錯項求和法的運用．