Question

【題目】已知橢圓的左焦點為，是橢圓上關于原點對稱的兩個動點，當點的坐標為時，的周長恰為．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作直線交橢圓于兩點，且 ，求面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出AB，得到a，然后求解b，即可得到橢圓方程;（2）當直線AB的斜率不存在時，求解三角形面積，設直線CD的方程為y＝k（x+2）（k≠0）．由消去y整理得：（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣8＝0，△＞0，設C（x1，y1），D（x2，y2），利用弦長公式求解CD，然后求解三角形面積，推出范圍即可．

（1）當點的坐標為時，，所以．

由對稱性，，

所以，得

將點代入橢圓方程 中，解得，

所以橢圓方程為.

（2）當直線的斜率不存在時，，

此時．

當直線的斜率存在時，設直線的方程為．

由消去整理得：． 顯然，

設，則

故

．

因為 ，所以，

所以點到直線的距離即為點到直線的距離，

所以

，

因為，所以，

所以．綜上，．