Question

已知函數f（x）在（-∞，+∞）上是增函數，a，b∈R．對于命題”若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）”有如下結論：①其逆命題為真；②其否命題為真；③其逆否命題為真；④其逆命題和否命題有且只有一個為真．其中正確的命題結論個數為（　　）個．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：逆否命題與原命題真假相同，所以判斷逆否命題的真假可以直接判斷原命題的真假；否命題與逆命題真假相同，所以判斷否命題的真假可以直接判斷逆命題的真假

解答：解：命題：若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
面先證明原命題：
因為a+b≥0，所以a≥-b，b≥-a
由于f（x）為增函數，所以f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a）
所以f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．故命題為真，根據互為逆否命題的真假相同可知，其逆否命題為真
下面證明否命題：
若a+b＜0，則f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）
由a+b＜0可得a＜-b，可得f（a）＜f（-b）
由b＜-a可得 f（b）＜f（-a）
所以，f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）
否命題成立，則由逆命題與否命題互為逆否命題，真假相同，可知逆命題為真
①其逆命題為真正確；②其否命題為真正確；③其逆否命題為真正確；④其逆命題和否命題有且只有一個為真，錯誤．
故選C

點評：本題主要考查了抽象函數的單調性的證明，互為你否命題的真假關系的應用，屬于知識的簡單應用．