Question

若雙曲線y²-x²=1與

xy-x-y+1

x2-3x+2

=m有唯一的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值集合中元素的個數(shù)為（　　）

A．2

B．4

C．5

D．6

Answer 1

分析：先將方程

xy-x-y+1

x2-3x+2

=m化為：

y-1

x-2

=m（x≠1），它表示經(jīng)過A（2，1）且斜率為m的直線l（除去x=1的點(diǎn)）如圖，設(shè)直線x=1與雙曲線y²-x²=1的兩個交點(diǎn)分別為M，N．?dāng)?shù)形結(jié)合即可找出有唯一的公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)m的取值集合中元素的個數(shù)．

解答：解：

xy-x-y+1

x2-3x+2

=m可化為：

y-1

x-2

=m（x≠1），
它表示經(jīng)過A（2，1）且斜率為m的直線l（除去x=1的點(diǎn)）
如圖，
設(shè)直線x=1與雙曲線y²-x²=1的兩個交點(diǎn)分別為M，N．
當(dāng)直線l經(jīng)過M或N時，雙曲線y²-x²=1與l有唯一的公共點(diǎn)，
另外當(dāng)直線l平行于雙曲線y²-x²=1的漸近線時，也有唯一的公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)m的取值集合中元素的個數(shù)為4．
當(dāng)過這個點(diǎn)的直線與雙曲線相切是，還有兩個元素，
共有6個元素
故選D．

點(diǎn)評：本小題主要考查雙曲線的應(yīng)用、元素與集合關(guān)系的判斷、直線的方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．