Question

如圖所示，拋物線y=1-x²與x軸所圍成的區域是一塊等待開墾的土地，現計劃在該區域內圍出一塊矩形地塊ABCD作為工業用地，其中A、B在拋物線上，C、D在x軸上．已知工業用地每單位面積價值為3a元（a＞0），其它的三個邊角地塊每單位面積價值a元，問如何規劃才能使得整塊土地總價值最大．

Answer 1

由

∫

1-1

(1-x2)dx=(x-

1

3

x3)

.

1 -1

=

4

3

，知整個地塊的面積為

4

3

…（2分）
設點C的坐標為（x，0），則點B（x，1-x²）其中0＜x＜1，
∴S_ABCD=2x（1-x²）…（4分）
∴土地總價值y=3a•2x(1-x2)+a[

4

3

-2x(1-x2)]
=4a•x(1-x2)+

4

3

a…（6分）
由y'=4a（1-3x²）=0得x=

3

3

或者x=-

3

3

(舍去)…（8分）
并且當0＜x＜

3

3

時，y′＞0，當

3

3

＜x＜1時，y′＜0
故當x=

3

3

時，y取得最大值．      …（11分）
答：當點C的坐標為(

3

3

，0)時，整個地塊的總價值最大． …（12分）