Question

如圖所示，拋物線y=1-x²與x軸所圍成的區域是一塊等待開墾的土地，現計劃在該區域內圍出一塊矩形地塊ABCD作為工業用地，其中A、B在拋物線上，C、D在x軸上．已知工業用地每單位面積價值為3a元（a＞0），其它的三個邊角地塊每單位面積價值a元，問如何規劃才能使得整塊土地總價值最大．

Answer 1

【答案】分析：先由定積分可求整個地塊的面積，進而可得工業用地面積，三個邊角地塊面積，由此可得土地總價值，利用導數的方法可求函數的最值．
解答：解：由，知整個地塊的面積為…（2分）
設點C的坐標為（x，0），則點B（x，1-x²）其中0＜x＜1，
∴S_ABCD=2x（1-x²）…（4分）
∴土地總價值
=…（6分）
由y'=4a（1-3x²）=0得…（8分）
并且當時，
故當時，y取得最大值．      …（11分）
答：當點C的坐標為時，整個地塊的總價值最大． …（12分）
點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，解題的關鍵是利用定積分知識求面積，從而構建函數，同時考查利用導數求最值，綜合性強．