已知數列
的前
項和為
，且
，對任意
，都有
.
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列
滿足
，求數列的前項和
.
（1）
；（2）
.
解析試題分析：（1）解法1是在
的條件下，由
得到
，將兩式相減得
，經化簡得
，從而得出數列為等差數列，然后利用等差數列的通項公式求出數列的通項公式；解法2是利用
代入遞推式得到
，經過化簡得到
，在兩邊同時除以
得到
，從而得到數列
為等差數列，先求出數列的通項公式，進而求出的表達式，然后利用與
之間的關系求出數列的通項公式；（2）解法1是在（1）的前提下求出數列的通項公式，然后利用錯位相減法求數列的和；解法2是利用導數
以及函數和的導數運算法則，將數列的前項和
視為函數列
的前項和在
處的導數值，從而求出.
試題解析：（1）解法1：當時，，，
兩式相減得
，
即，得.當
時，
，即
.
數列是以為首項，公差為
的等差數列.
.
解法2：由，得，
整理得，
，兩邊同除以得，.數列是以
為首項，公差為
的等差數列.
.
.
當時，
.
又適合上式，數列的通項公式為；
（2）解法1：由（1）得
.
，
.
，①
，②
①
②得
.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
（
）
（1）若方程
有3個不同的根，求實數
的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，是否存在實數，使得
在
上恰有兩個極值點
，且滿足
，若存在，求實數的值，若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
(
,
為自然對數的底數).
(1)若曲線
在點
處的切線平行于
軸,求
的值；
(2)求函數
的極值；
(3)當
的值時,若直線
與曲線沒有公共點,求
的最大值.
(注：可能會用到的導數公式：
；
）
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在
處的切線的斜率；
，求函數
在
上的最大值.
，
．
，討論
在
內的單調性并求極值；
時，恒有
．
，
.
，使得
，求a的取值范圍；
有兩個不同的實數解
，證明：
.
，求曲線
在
處的切線方程；
的單調區間；
，若對任意
，均存在
，使得
，求
的取值范圍.
在
上的最大值與最小值；
時，函數
的圖像恒在直線
上方，求實數
的取值范圍；
時，
．
.
）處的切線方程；
使得
，求
的取值范圍.