Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，P為棱CD上的一點，且三棱錐A-CP D₁的體積為

2

3

．
（Ⅰ）求CP的長；
（Ⅱ）求直線AD與平面APD₁所成的角θ的正弦值；
（Ⅲ）請在正方體的棱上找到所有滿足C₁M∥平面APD₁的點M，寫出點M的位置，不需要證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，AD⊥平面CPD₁，AD=DD₁=2，根據V三棱A-CPD1=

1

3

×2×

1

2

×CP×2=

2

3

，求得CP的值．
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系，設平面APD₁的一個法向量為

n

=(2，-1，1)． 求得sinθ=

| AD • n |

| AD || n |

的值，可得直線AD與平面APD₁所成角θ的正弦值．
（Ⅲ）滿足條件的點M位于線段A₁B₁中點或者B點．

解答：解：（Ⅰ）依題意，AD⊥平面CPD₁，AD=DD₁=2，
∴V三棱A-CPD1=

1

3

AD•S△CPD1=

1

3

×2×

1

2

×CP×2=

2

3

，
∴CP=1．
（Ⅱ）以A為原點，AB、AD、AA₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
由已知可得A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（1，2，0）、D₁（0，2，2）
所以

AD

=(0，2，0)，

AP

=(1，2，0)，

AD1

=(0，2，2)，
設平面APD₁的一個法向量

n

=(x，y，z)，則

AP • n =0 AD1 • n =0

⇒

x+2y=0 2y+2z=0

，
令x=2，得平面APD₁的一個法向量為

n

=(2，-1，1)．  
所以sinθ=

| AD • n |

| AD || n |

=

2

2× 6

=

6

6

，故直線AD與平面APD₁所成角θ的正弦值為

6

6

．
（Ⅲ）滿足條件的點M位于線段A₁B₁中點或者B點．

點評：本題主要考查求棱錐的體積，直線和平面所成的角的定義和求法，直線和平面平行的判定方法，屬于中檔題．