Question

拋物線在點，處的切線垂直相交于點，直線與橢圓相交于，兩點．

（1）求拋物線的焦點與橢圓的左焦點的距離；

（2）設點到直線的距離為，試問：是否存在直線，使得，，成等比數列？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）;（2）不存在.

【解析】

試題分析：（1）分別求出拋物線與橢圓的焦點，利用兩點間距離公式求解；（2）設直線與拋物線相交于與橢圓相交于,,所以直線與拋物線方程聯立，得到和然后利用,求出切線，的斜率，利用切線垂直，,解出m,然后分別設出過點的切線方程，求出交點的坐標，利用點到直線的距離公式求,直線與曲線相交的弦長公式求,若，，成等比數列，則,化簡等式，通過看方程實根情況.

試題解析：（I）拋物線的焦點， 1分

橢圓的左焦點， 2分

則． 3分

（II）設直線，，，，，

由，得， 4分

故，．

由，得，

故切線，的斜率分別為，，

再由，得，

即，

故，這說明直線過拋物線的焦點． 7分

由，得，

,即． 8分

于是點到直線的距離. 9分

由，得， 10分

從而， 11分

同理，． 12分

若，，成等比數列，則， 13分

即，

化簡整理，得，此方程無實根，

所以不存在直線，使得，，成等比數列． 15分

考點：1.橢圓與拋物線的性質；2.導數的幾何意義；3.直線與曲線的交點問題；4.弦長公式.