Question

（滿分18分）本題有2小題，第1小題9分，第2小題9分．

在中，、為定點，為動點，記、、的對邊分別為、、，已知，．

（1）證明：動點一定在某個橢圓上，并求出該橢圓的標準方程；

（2）設點為坐標原點，過點作直線與（1）中的橢圓交于兩點，若，求直線的方程．

Answer 1

解：（1）在中，由余弦定理，有， ……………1分

，…………………………3分

所以，點的軌跡是以為焦點，長軸長的橢圓．…… ………………1分

如圖，以、所在的直線為x軸，以、的中點為坐標原點建立直角坐標系．

則，和．

橢圓的標準方程為：．………………………………………………………4分

（2）設，

①當垂直于軸時，的方程為，不符題意．………………………………1分

②當不垂直于軸時，設的方程為．

由得：，………………………………2分

所以，．

于是：． ……………2分

因為，所以，

所以， ………………………………………………………2分

所以，，       ……………………………………………………………………1分

所以，直線的方程為：……………………………………………………1分