Question

（滿分18分）本題有2小題，第1小題9分，第2小題9分．

在中，、為定點，為動點，記、、的對邊分別為、、，已知，且存在常數，使得．

（1）求動點的軌跡，并求其標準方程；

（2）設點為坐標原點，過點作直線與（1）中的曲線交于兩點，若，試確定的范圍．

Answer 1

解：（1）在中，由余弦定理，有， ……………1分

， ……………………3分

所以，點的軌跡是以為焦點，長軸長的橢圓．（除去長軸上的頂點）  …………………………………………………………………………………………1分

如圖，以、所在的直線為x軸，以、的中點為坐標原點建立直角坐標系．

則，和．

橢圓的標準方程為：． …………………………………………4分

（2）設，，

①當垂直于軸時，的方程為，由題意，有，在橢圓上．

即，由，得………………………………1分

②當不垂直于軸時，設的方程為．

由得：，………2分

由題意知：，

所以，．

于是：．

因為，所以，

所以，………………………………………4分

所以，，

由得，解得 …………………………………………2分

綜合①②得： ………………………………………………………………1分