Question

設數列{a_n}的n項和為S_n，若對任意∈N^*，都有．S_n=3a_n-5n
（1）求數列{a_n}的首項；
（2）求證：數列{a_n+5}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（3）數列{b_n}滿足b_n=

9n+4

an+5

，問是否存m在，使得b_n＜m恒成立？如果存在，求出m的值，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據S_n=3a_n-5n，令n=1，即可求數列的首項．
（2）根據S_n=3a_n-5n，再寫一式S_n-1=3a_n-1-5（n-1）n≥2，兩式相減，進而兩邊同加5，即可證得數列{a_n+5}是以

3

2

為公比的等比數列，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（3）根據數列的通項，可求其最大值，從而求出使得b_n＜m恒成立 m的值．

解答：解：（1）∵a₁=3a₁-5∴a₁=

5

2

          …（3分）
（2）∵S_n=3a_n-5_n∴S_n-1=3a_n-1-5（n-1）n≥2）
∴a_n=

3

2

a_n-1+

5

2

             …（5分），
∴a_n+5=

3

2

a_n-1+

15

2

=

3

2

（a_n-1+5）
∴

an+5

an-1+5

=

3

2

（為常數） （n≥2）
∴數列{a_n+5}是以

3

2

為公比的等比數列         …（7分）
∴a_n=

15

2

•（

3

2

）^n-1-5                       …（10分）
（3）∵b_n=

9n+4

an+5

∴b_n=

9n+4

15 2 •( 3 2 )n-1

∴

bn

bn-1

=

9n+4 15 2 •( 3 2 )n-1

9n-5 15 2 •( 3 2 )n-2

=

9n+4

3 2 (9n-5)

=

18n+8

27n-15

   …（12分）

18n+8

27n-15

-1=

18n+8-27n+15

27n-15

=

-9n+23

27n-15

    …（14分）
∴當n≥3時，

bn

bn-1

＜1；  n=2時，

bn

bn-1

＞1
∴當n=2時，b_n有最大值b₂=

264

135

∴（b_n）_max=

264

135

                         …（15分）
∴m＞

264

135

=

88

45

                            …（16分）

點評：本題以數列為素材，考查等比數列，考查構造法，考查恒成立問題，有一定的綜合性．