【題目】已知函數
.
（1）求函數
的單調增區間；
（2）若函數有兩個極值點
，且
，證明：
.
【答案】（Ⅰ）見解析 （Ⅱ）見解析
【解析】分析：（1）求出函數的定義域為
及函數的導數，令
，分
和
分類討論，即可得到函數的單調區間；
（2）求出函數
的兩個極值點
，轉化為
，即證明
，轉化為證明
成立，設函數
，利用函數
的單調性證明即可.
詳解：（Ⅰ）由
，得：
設函數
當
時，即
時，
，
，
所以函數
在上單調遞增.
當
時，即
時，
令
得
，
，
當
時，即
時，在
上，
，
;
在
上，
，
.
所以函數在
，上單調遞增，在上單調遞減.
當
時，即
時，在
上，，;
在上，，.
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.
綜上，當時，函數在上單調遞增；
當時，函數在
，
上單調遞增，
在
上單調遞減；
當時，函數在
上單調遞減，
在上單調遞增.
（Ⅱ）證明：∵函數有兩個極值點，且，
∴
有兩個不同的正根
，
∴
∴.
欲證明
，即證明
，
∵
，
∴證明成立，等價于證明
成立.
∵
，∴
.
設函數
，
求導可得
.
易知
在
上恒成立，
即
在
上單調遞增，
∴
，即在
上恒成立，
∴函數有兩個極值點，且時，
.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】過拋物線
：
的焦點
做直線
交拋物線于
，
兩點，
的最小值為2.
（1）求拋物線的標準方程；
（2）過，分別做拋物線的切線，兩切線交于點
，且直線
，
分別與
軸交于點
，
，記
和
的面積分別為
和
，求證：
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從甲、乙兩種棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度(單位: 
) 組成一個樣本，且將纖維長度超過315的棉花定為一級棉花.設計了如下莖葉圖:
(1)根據以上莖葉圖，對甲、乙兩種棉花的纖維長度作比較，寫出兩個統計結論（不必計算）；
(2)從樣本中隨機抽取甲、乙兩種棉花各2根，求其中恰有3根一級棉花的概率；
(3)用樣本估計總體，將樣本頻率視為概率，現從甲、乙兩種棉花中各隨機抽取1根，求其中一級棉花根數X的分布列及數學期望
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列推理不屬于合情推理的是（ ）
A. 由銅、鐵、鋁、金、銀等金屬能導電，得出一切金屬都能導電.
B. 半徑為
的圓面積
，則單位圓面積為
.
C. 由平面三角形的性質推測空間三棱錐的性質.
D. 猜想數列2，4，8，…的通項公式為
. 
.
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