Question

如圖，等腰梯形OABC，底角為45°，各頂點的坐標分別為O（0，0），A（6，0），B（4，2），C（2，2）．一條與y軸平行的動直線l從O點開始做平行移動，到A點為止．設直線l與x軸的交點M，記OM=x，記梯形被直線l截得的在l左側的圖形面積為y．
（1）函數y=f（x）的解析式；
（2）求函數的定義域、值域；
（3）計算[f（

7

2

）]的值．

Answer 1

分析：（1）分直線l從O運動到C，從C運動到B，從B運動到A三種情況寫出對應圖形的面積，所以函數為分段函數；
（2）分段求出各部分的值域，取并集；
（3）根據

7

2

所在的區間代入相應的解析式求解．

解答：解：（1）當0≤x≤2，y=

1

2

x2，
當2＜x≤4時，y=

1

2

×2×2+2×(x-2)=2x-2．
當4＜x≤6時，y=

1

2

×2×2+2×2+

1

2

×2×2-

1

2

(6-x)2=-

1

2

x2+6x-10．
所以f(x)=

1 2 x2                (0≤x≤2) 2x-2               (2＜x≤4) - 1 2 x2+6x-10(4＜x≤6)

（2）函數定義域為[0，6]，
當0≤x≤2時，y=

1

2

x2∈[0，2]；
當2＜x≤4時，y=2x-2∈（2，6]；
當4＜x≤6時，y=-

1

2

x2+6x-10∈(6，8]，
所以函數值域為[0，8]．
（3）f(

7

2

)=2×

7

2

-2=5．

點評：本題考查了實際背景下的分段函數解析式的求解方法，解答的關鍵是根據變量在不同的區間段列不同的解析式，同時注意分段函數的定義域和值域都是各段的并集．