【題目】已知函數
.
（1）討論
在
極值點個數；
（2）證明：不等式
在
恒成立.
附：
.
【答案】（1）有兩個極值點（2）證明見解析；
【解析】
（1）求出函數的導函數，分
，
以及
，判斷函數的單調性，進而得出極值點情況；
（2）分
，
，結合零點存在性定理以及放縮思想得證．
解：（1）由
，求導數
，設
①在時，則
，知
在
遞減，
存在
使得
在
時，
，在
時，
為
的極大值點.
②在時，
有
在
上恒成立，在上遞減
此時無極值.
③在時，
，在
上恒成立.
在上遞增，
因此存在唯一
，使得
在
時，
，在
時，
為極小值點.
綜合討論在
有兩個極值點.
（2）令
，則
①若
時，
，而
所以，在
遞減，
所以
②若，，
，
當時，，則
在遞增，
所以存在唯一
使得
，
當
時，
遞減；當
時，
遞增，
故
下面證明：
在上恒成立
記
，
則
，所以
在遞增，
于是
，
從而可知
，
綜合①②可知
在
上恒成立.
挑戰100單元檢測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某“芝麻開門”娛樂活動中，共有
扇門，游戲者根據規則開門，并根據打開門的數量獲取相應獎勵．已知開每扇門相互獨立，且規則相同，開每扇門的規則是：從給定的
把鑰匙（其中有且只有
把鑰匙能打開門）中，隨機地逐把抽取鑰匙進行試開，鑰匙使用后不放回．若門被打開，則轉為開下一扇門；若連續
次未能打開，則放棄這扇門，轉為開下一扇門；直至扇門都進行了試開，活動結束．
（1）設隨機變量
為試開第一扇門所用的鑰匙數，求的分布列及數學期望
；
（2）求恰好成功打開扇門的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以平面直角坐標系
的原點為極點，
軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，已知過點
且斜率為1的直線
與曲線
：
（
是參數）交于
兩點，與直線
：
交于點
.
（1）求曲線的普通方程與直線的直角坐標方程；
（2）若
的中點為
，比較
與
的大小關系，并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的長軸是短軸的兩倍，以短軸一個頂點和長軸一個頂點為端點的線段作直徑的圓的周長等于
，直線l與橢圓C交于
兩點，其中直線l不過原點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線
的斜率分別為
，其中
且
.記
的面積為S.分別以
為直徑的圓的面積依次為
，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】高三數學考試中，一般有一道選做題，學生可以從選修4-4和選修4-5中任選一題作答，滿分10分.某高三年級共有1000名學生參加了某次數學考試，為了了解學生的作答情況，計劃從該年級1000名考生成績中隨機抽取一個容量為10的樣本，為此將1000名考生的成績按照隨機順序依次編號為000~999.
（1）若采用系統抽樣法抽樣，從編號為000~999的成績中隨機確定的編號為026，求樣本中的最大編號.
（2）若采用分層抽樣法，按照學生選擇選修4-4或選修4-5的情況將成績分為兩層，已知該校共有600名考生選擇了選修4-4，400名考生選擇了選修4-5，在選取的樣本中，選擇選修4-4的平均得分為6分，方差為2，選擇選修4-5的平均得分為5分，方差為0.75.用樣本估計該校1000名考生選做題的平均得分和得分的方差.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，AB＝AA1＝2，P為CC1的中點.
（1）證明：AB1⊥平面PA1B；
（2）設E為BC的中點，線段AB1上是否存在一點Q，使得QE∥平面A1ACC1？若存在，求四棱錐Q﹣AA1C1C的體積；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，
，離心率為
，過作直線
與橢圓
交于
，
兩點，
的周長為8．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）問：的內切圓面積是否有最大值？若有，試求出最大值；若沒有，說明理由．
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