Question

在數列中，，且對任意.，，成等差數列，其公差為。
（Ⅰ）若=，證明，，成等比數列（）
（Ⅱ）若對任意，，，成等比數列，其公比為。

Answer 1

本小題主要考查等差數列的定義及通項公式，前n項和公式、等比數列的定義、數列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法。滿分14分。
（Ⅰ）證明：由題設，可得。
所以
=
=2k(k+1)
由=0，得
于是。
所以成等比數列。
（Ⅱ）證法一：（i）證明：由成等差數列，及成等比數列，得
當≠1時，可知≠1，k
從而
所以是等差數列，公差為1。
（Ⅱ）證明：，，可得，從而=1.由（Ⅰ）有

所以
因此，
以下分兩種情況進行討論：
（1）  當n為偶數時，設n=2m()
若m=1,則.
若m≥2，則
+

所以
(2)當n為奇數時，設n=2m+1（）


所以從而···
綜合（1）（2）可知，對任意,,有
證法二：（i）證明：由題設，可得
所以

由可知。可得，
所以是等差數列，公差為1。
（ii）證明：因為所以。
所以，從而，。于是，由（i）可知所以是公差為1的等差數列。由等差數列的通項公式可得= ，故。
從而。
所以，由，可得
。
于是，由（i）可知
以下同證法一。