Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距為2，且過(guò)點(diǎn)(

2

，0)，已知F為橢圓的右焦點(diǎn)，A、B為橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，直線l：x=2與x軸交于點(diǎn)G．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)A、B、G三點(diǎn)共直線l'，試求當(dāng)△AOB的面積最大時(shí)直線l'的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意可知a=

2

，c=1，從而b²=a²-c²=1，故可求橢圓的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)G的直線方程為x=my+2，代入橢圓方程

x2

2

+y2=1，計(jì)算原點(diǎn)O到直線x=my+2的距離為

2

m2+1

，|AB|的長(zhǎng)，表示出△AOB的面積，再換元，利用基本不等式求△AOB的面積最大，從而可求直線l'的方程．

解答：解：（1）由題意可知a=

2

，c=1，
從而b²=a²-c²=1，所以橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)G的直線方程為x=my+2，代入橢圓方程

x2

2

+y2=1，
得（m²+2）y²+4my+2=0（*）
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則有y1+y2=-

4m

m2+2

，y1y2=

2

m2+2

，
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

m2+1

(y1+y2)2-4y1y2

=

2 2 • (m2+1)(m2-2)

m2+2

由于原點(diǎn)O到直線x=my+2的距離為

2

m2+1

，
∴S△AOB=

1

2

×

2 2 • (m2+1)(m2-2)

m2+2

×

2

m2+1

=2

2

•

m2-2 (m2+2)2

令m²-2=t，則由（*）式知△＞0，
∴m²-2＞0，故t＞0．
∴S△AOB=2

2

•

t (t+4)2

=2

2

•

t t2+8t+16

=2

2

•

1 t+ 16 t +8

≤2

2

•

1 2 16 +8

=

2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)t=

16

t

，即t=4是等號(hào)成立，此時(shí)m²=6．
∴m=±

6

時(shí)，△AOB面積最大，此時(shí)直線l的方程為x=±

6

y+2．

點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓的性質(zhì)為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的運(yùn)用，（2）問(wèn)表示出三角形的面積，轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求解是關(guān)鍵．