Question

如圖，兩個工廠A、B相距2km，點O為AB的中點，要在以O為圓心，2km為半徑的圓弧MN上的某一點P處建一幢辦公樓，其中MA⊥AB，NB⊥AB.據測算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP的平方成反比，比例系數為1；辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP的平方也成反比，比例系數為4，辦公樓與A、B兩廠的“總噪音影響度”y是A、B兩廠“噪音影響度”的和，設AP為xkm.
 
(1)求“總噪音影響度”y關于x的函數關系式，并求出該函數的定義域；
(2)當AP為多少時，“總噪音影響度”最小？

Answer 1

（1）y＝(≤x≤)（2）AP＝km

(1)(解法1)如圖，連結OP，

設∠AOP＝α，則≤α≤.
在△AOP中，由余弦定理得x²＝1²＋2²－2×1×2cosα＝5－4cosα，
在△BOP中，由余弦定理得BP²＝1²＋2²－2×1×2cos(π－α)＝5＋4cosα，
∴BP²＝10－x²，∴y＝.
∵≤α≤，∴≤x≤，∴y＝(≤x≤)．

(解法2)建立如圖所示的直角坐標系，則A(－1，0)，B(1，0)，設P(m，n)，則PA²＝(m＋1)²＋n²，PB²＝(m－1)²＋n².
∵m²＋n²＝4，PA＝x，
∴PB²＝10－x²(后面解法過程同解法1)．
(2)(解法1)y＝＝[x²＋(10－x²)]
＝(5＋)≥(5＋2)＝，
當且僅當，即x＝∈[，]時取等號．
故當AP＝km時，“總噪音影響度”最小．
(解法2)由y＝，得
y′＝－.
∵≤x≤，∴令y′＝0，得x＝，且當x∈時，y′<0；當x∈(，]時，y′>0.∴x＝時，y＝取極小值，也即最小值．故當AP＝km時，“總噪音影響度”最小