Question

設函數f(x)=clnx+

1

2

x2+bx，且x=1為f(x)的極值點．
（I）若x=1為f（x）的極大值點，求函數的單調區間（用c表示）；
（II）若f（x）=0恰有兩解，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導函數，根據x=l為f（x）的極大值點，可得c＞1，b+c+1=0，由此可確定函數的單調區間；
（II）分類討論：①若c＜0，則f（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，若f（x）=0恰有兩解，則f（1）＜0；②若0＜c＜1，則f_極大（x）=f（c）=clnc+

1

2

c2+c(-1-c)＜0，f_極小（x）=f（1）=-

1

2

-c，從而f（x）=0只有一解；③若c＞1，則f_極小（x）=f（c）=clnc+

1

2

c2+c(-1-c)＜0，f_極大（x）=f（1）=-

1

2

-c，從而f（x）=0只有一解；故可求實數c的取值范圍．

解答：解：（I）求導函數，可得f′(x)=

x2+bx+c

x

∵x=l為f（x）的極大值點，∴f′（1）=0
∴f′(x)=

(x-1)(x-c)

x

，c＞1，b+c+1=0
當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當1＜x＜c時，f′（x）＜0；當x＞c時，f′（x）＞0；
∴f（x）的遞增區間為（0，1），（c，+∞）；遞減區間為（1，c）
（II）①若c＜0，則f（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，若f（x）=0恰有兩解，則f（1）＜0，
∴

1

2

+b＜0，∴-

1

2

＜c＜0
②若0＜c＜1，則f_極大（x）=f（c）=clnc+

1

2

c2+bc，f_極小（x）=f（1）=

1

2

+b
∵b=-1-c，∴f_極大（x）=f（c）=clnc+

1

2

c2+c(-1-c)＜0，f_極小（x）=f（1）=-

1

2

-c，從而f（x）=0只有一解；
③若c＞1，則f_極小（x）=f（c）=clnc+

1

2

c2+c(-1-c)＜0，f_極大（x）=f（1）=-

1

2

-c，從而f（x）=0只有一解；
綜上，可知f（x）=0恰有兩解時，實數c的取值范圍為-

1

2

＜c＜0

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值、單調性，考查分類討論的數學思想，解題的關鍵是正確分類討論．