Question

設函數f(x)=clnx+

1

2

x2+bx（b，c∈R，c≠0），且x=1為f（x）的極值點．
（Ⅰ） 若x=1為f（x）的極大值點，求f（x）的單調區間（用c表示）；
（Ⅱ）若f（x）=0恰有1解，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f(x)=clnx+

1

2

x2+bx（b，c∈R，c≠0），知f′(x)=

c

x

+x+b=

x2+bx+c

x

，由x=1為f（x）的極值點，知f′(x)=

(x-1)(x-c)

x

．由x=1為f（x）的極大值點，知c＞1．由此能求出f（x）的單調區間．
（ II）若c＜0，則f（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增f（x）=0恰有1解，則f（1）=0，實數c的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=clnx+

1

2

x2+bx（b，c∈R，c≠0），
∴f′(x)=

c

x

+x+b=

x2+bx+c

x

，
∵x=1為f（x）的極值點，
∴f′（1）=0，
∴b+c+1=0，且c≠1，
f′(x)=

(x-1)(x-c)

x

．
∵x=1為f（x）的極大值點，
∴c＞1．
當0＜x＜1時，f′（x）＞0；
當1＜x＜c時，f′（x）＜0；
當x＞c時，f′（x）＞0．
∴f（x）的遞增區間為（0，1），（c，+∞）；遞減區間為（1，c）．
（ II）若c＜0，則f（x）在（0，1）上遞減，
在（1，+∞）上遞增f（x）=0恰有1解，
則f（1）=0，
即

1

2

+b=0，所以c=-

1

2

；
若0＜c＜1，則f極大(x)=f(c)=clnc+

1

2

c2+bc，
f極小(x)=f(1)=

1

2

+b
因為b=-1-c，則f極大(x)=clnc+

c2

2

+c(-1-c)=clnc-c-

c2

2

＜0
f極小(x)=-

1

2

-c，
從而f（x）=0恰有一解；
若c＞1，則f極小(x)=clnc+

c2

2

+c(-1-c)=clnc-c-

c2

2

＜0
f極大(x)=-

1

2

-c，
從而f（x）=0恰有一解；
所以所求c的范圍為{c|0＜c＜1或c＞1或c=-

1

2

}．．

點評：本題考查函數的單調區間、極值的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．