Question

已知圓O：x²+y²=1與x軸交于點A和B，在線段AB上取一點D（x，0），作DC⊥AB與圓O的一個交點為C，若線段AD、BD、CD可作為一個銳角三角形的三邊長，則x的取值范圍為

 

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Answer 1

分析：本題考查的是如何判斷三角形的形狀，由圓O：x²+y²=1與x軸交于點A和B，在線段AB上取一點D（x，0），作DC⊥AB與圓O的一個交點為C，我們可以將線段AD、BD、CD都用變量x表示，再根據判斷三角形形狀的方法，構造不等式，解不等式即可得到x的取值范圍

解答：解：由已知易得A（-1，0），B（1，0），
若在線段AB上取一點D（x，0），作DC⊥AB與圓O的一個交點為C
則-1＜x＜1，
則AD=x+1，BD=x-1，CD=

1-x2

當x＜0時，BD為最大邊，
此時若線段AD、BD、CD可作為一個銳角三角形的三邊長，
則BD²＜AD²+CD²
即：（x-1）²＜（x+1）²+（1-x²）
解得：-

5

+2＜x＜0
同理可求：當x＞0時，0＜x＜

5

-2
又∵x=0時，AD=BD=CD=1，也滿足要求
綜上x的取值范圍為(-

5

+2，  

5

-2)
故答案為：(-

5

+2，  

5

-2)

點評：要判斷三角形的形狀，我們要先判斷出三角形的最大邊C，如果
①c²＜a²+b²，則三角形為銳角三角形；
②c²=a²+b²，則三角形為直角三角形；
③c²＞a²+b²，則三角形為鈍角三角形；