Question

（2013•石景山區一模）PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質量為二級；在75微克/立方米以上空氣質量為超標．
石景山古城地區2013年2月6日至15日每天的PM2.5監測數據如莖葉圖所示．
（Ⅰ）小陳在此期間的某天曾經來此地旅游，求當天PM2.5日均監測數據未超標的概率；
（Ⅱ）小王在此期間也有兩天經過此地，這兩天此地PM2.5監測數據均未超標．請計算出這兩天空氣質量恰好有一天為一級的概率；
（Ⅲ）從所給10天的數據中任意抽取三天數據，記ξ表示抽到PM2.5監測數據超標的天數，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析：（I）由莖葉圖可知：有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，據此利用古典概型的概率計算公式即可得出；
（II）由莖葉圖可知：空氣質量為一級的有2天，空氣質量為二級的有4天，只有這6天空氣質量不超標．據此可得得出其概率；
（III）由莖葉圖可知：空氣質量為一級的有2天，空氣質量為二級的有4天，只有這6天空氣質量不超標，而其余4天都超標，利用“超幾何分布”即可得出．

解答：解：（Ⅰ）記“當天PM2.5日均監測數據未超標”為事件A，
因為有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，
故P（A）=

2+4

10

=

3

5

．
（Ⅱ）記“這兩天此地PM2.5監測數據均未超標且空氣質量恰好有一天為一級”為事件B，P（B）=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

8

15

．
（Ⅲ）ξ的可能值為0，1，2，3．
由莖葉圖可知：空氣質量為一級的有2天，空氣質量為二級的有4天，只有這6天空氣質量不超標，而其余4天都超標．
P（ξ=0）=

C 3 6

C 3 10

=

1

6

，P（ξ=1）=

C 2 6 C 1 4

C 3 10

=

1

2

，
P（ξ=2）=

C 1 6 C 2 4

C 3 10

=

3

10

，P（ξ=3）=

C 3 4

C 3 10

=

1

30

．
ξ的分布列如下表：

ξ	0	1	2	3
P	1 6	1 2	3 10	1 30

∴Eξ=0×

1

6

+1×

1

2

+2×

3

10

+3×

1

30

=

6

5

．

點評：正確理解莖葉圖和“空氣質量超標”的含義、古典概型的概率計算公式、超幾何分布、排列與組合的意義與計算公式是解題的關鍵．