Question

已知函數f（x）+1=

1

f(x+1)

，當x∈[0，1]時，f（x）=x．若在區間x∈（-1，1]內，g（x）=f（x）-mx-m有兩個零點，則實數m的取值范圍是（　　）

• A、（0，

  1

  2

  ]
• B、[

  1

  2

  ，+∞）
• C、[0，

  1

  3

  ）
• D、[0，

  1

  2

  ）

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：求出f（x）的解析式，把在區間x∈（-1，1]內，g（x）=f（x）-mx-m有兩個零點，
轉化為m=

f(x)

x+1

有2個解，令k（x）=

f(x)

x+1

，作出圖象，運用圖象的交點判斷零點個數，
得出參變量m的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）+1=

1

f(x+1)

，
∴數f（x）=

1

f(x+1)

-1，
∵當x∈[0，1]時，f（x）=x．
∴當x∈[-1，0]時，f（x）=

1

f(x+1)

-1=

1

x+1

-1，
∵∴f（x）=m（x+1）有2個解
即m=

f(x)

x+1

有2個解
令k（x）=

f(x)

x+1

，
則k（x）=

1 (x+1)2 -1，-1≤x＜0 1- 1 x+1 ，0≤x≤1

k（x）圖象如下：

k（1）=

1

2

，
∴k（x）=

f(x)

x+1

，與y=m有2個交點時，0＜m≤

1

2

∴g（x）=f（x）-mx-m有兩個零點，則實數m的取值范圍為：（0，

1

2

]，
故選：A

點評：本題綜合考察了函數的圖象的交點，函數的零點，方程的根的關系，考察了數形結合的思想．