Question

對于給定數列{a_n}，如果存在實常數p，q，使得a_n+1=pa_n+q對于任意n∈N^*都成立，我們稱數列{a_n}是“M類數列”．
（Ⅰ）已知數列{b_n}是“M類數列”且b_n=2n，求它對應的實常數p，q的值；
（Ⅱ）若數列{c_n}滿足c₁=1，c_n+1-c_n=2ⁿ（n∈N^*），求數列{c_n}的通項公式．并判斷{c_n}是否為“M類數列”，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵數列{b_n}是“M類數列”且b_n=2n，
∴b_n+1=b_n+2，
∴由“M類數列”定義知：p=1，q=2．…（6分）
（Ⅱ）∵c_n+1-c_n=2ⁿ（n∈N^*）
∴c₂-c₁=2，
c₃-c₂=4，
…
c_n-c_n-1=2^n-1（n≥2），
∴累加求和，得到：c_n=1+2+4+…+2^n-1=2ⁿ-1（n≥2），
c₁=1也滿足上式，
∴c_n=2ⁿ-1．
∴c_n+1=2c_n+1，
∴由“M類數列”定義知：{c_n}是“M類數列”． …（14分）
分析：（Ⅰ）由數列{b_n}是“M類數列”且b_n=2n，知b_n+1=b_n+2，由此能求出p和q的值．
（Ⅱ）因為c_n+1-c_n=2ⁿ（n∈N^*），所以c₂-c₁=2，c₃-c₂=4，…，c_n-c_n-1=2^n-1（n≥2），所以c_n=1+2+4+…+2^n-1=2ⁿ-1（n≥2），由此能夠推導出{c_n}是為“M類數列”．
點評：本題考查數列的應用，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．