Question

【題目】已知函數.

（1）函數在處的切線過點，求的方程；

（2）若且函數有兩個零點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）即；（2）8.

【解析】

（1）首先求出在處的切線方程，然后代入點，求參數的值；

（2）首先利用導數判斷函數的單調性和最小值，因為有兩個零點，所以即得，再根據零點存在性定理證明在上有一個零點，在上有一個零點，得到的最小值.

（1）因為，

所以，

所以又，

所以在處切線方程為，

即.

又因為直線過點，所以得即.

所以直線方程為即.

（2）因為.

令得即，

因為所以，

所以當時，，當時，，

則在上單調遞減，在上單調遞增，

所以.

因為有兩個零點，所以即得，

又因為，

.

設

則，因為在上單調遞增，

所以，所以在單調遞增，

所以.

又，所以，

故在上有一個零點，在上有一個零點，

即在上有兩個零點，

則又且，

所以得最小值為8.