Question

已知函數y=log_ax（0＜a≠1）的反函數y=f^-1（x），給出關于f（x）與f^-1（x）的四個命題：其中正確命題的序號是

①②③

．
①兩個函數必有相同的單調性；
②當a＞1時，兩個函數的圖象沒有交點；
③若兩個函數的圖象有交點，交點一定在y=x上；
④兩個函數圖象有交點的充分不必要條件為0＜a＜1．

Answer 1

分析：根據指數函數和同底的對數函數的單調性與底數的關系，可以判斷①的真假；根據a＞1時，數函數和同底的對數函數的圖象，可以判斷②的真假；根據當0＜a＜1時，數函數和同底的對數函數的圖象，可以判斷③的真假；根據③中結論，結合充要條件的定義，可以判斷④的真假；進而得到答案．

解答：解：∵函數y=log_ax（0＜a≠1）的反函數y=f^-1（x）=a^x，
∴當a＞1時，原函數和反函數均為增函數，當0＜a＜1時，原函數和反函數均為減函數，
故①兩個函數必有相同的單調性正確；
當a＞1時，函數y=log_ax（0＜a≠1）與函數y=a^x的圖象分別位置直線y=x兩側，
故兩個函數的圖象沒有交點，故②正確；
當0＜a＜1時，函數y=log_ax（0＜a≠1）與函數y=a^x的圖象交于直線y=x上一點
故③若兩個函數的圖象有交點，交點一定在y=x上正確；
兩個函數圖象有交點的充要條件為0＜a＜1，故④錯誤
故答案為：①②③

點評：本題考查的知識點是反函數，指數函數和對數函數的圖象和性質，其中熟練掌握同底的指數和對數函數的圖象和性質是解答本題的關鍵．