Question

已知函數f（x）=ax²+x-xlnx（a＞0）．
（Ⅰ）若函數滿足f（1）=2，且在定義域內f（x）≥bx²+2x恒成立，求實數b的取值范圍；
（Ⅱ）當

1

e

＜x＜y＜1時，試比較

y

x

與

1+lny

1+lnx

的大小；
（Ⅲ）若函數f（x）在定義域上是單調函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）x²+x-xlnx）≥bx²+2x恒成立等價于b≤1-

1

x

-

lnx

x

，構造函數g（x）=1-

1

x

-

lnx

x

，利用導數可求得g（x）_min，從而可求得實數b的取值范圍；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）在（0，1]上遞減，從而可得

1

e

＜x＜y＜1時，g（x）＞g（y），化簡可得結論；
（Ⅲ）求導數f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），令f′（x）≥0可求得a的范圍，對a的范圍分情況討論可由f（x）在定義域上是單調函數，求得實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ） 由f（1）=2，得a=1…（2分）
∵x＞0，∴x²+x-xlnx）≥bx²+2x恒成立等價于b≤1-

1

x

-

lnx

x

，
令g（x）=1-

1

x

-

lnx

x

，可得g′（x）=

lnx

x2

∴x∈（0，1]時，g′（x）≤0
∴g（x）在（0，1]上遞減，
在[1，∞）上遞增，所以g（x）_min=g（1）=0，
即b≤0…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）在（0，1]上遞減，
∴

1

e

＜x＜y＜1時，g（x）＞g（y）即

1+lnx

x

＞

1+lny

y

 …（6分）
而

1

e

＜x＜y＜1時，-1＜lnx＜0，
∴1+lnx＞0，
∴

y

x

＜

1+lny

1+lnx

；…（9分）
（Ⅲ）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），
令f′（x）≥0得：2a≥

lnx

x

設h（x）=

lnx

x

（x＞0），則h′(x)=

1-lnx

x2

令h′(x)=

1-lnx

x2

＞0，則0＜x＜e；令h′(x)=

1-lnx

x2

＜0，可得x＞e
∴當x=e時，h（x）_max=

1

e

，
∴當a≥

1

2e

時，函數f（x）在（0，+∞）單調遞增          …（11分）
若0＜a＜

1

2e

，g(x)=2ax-lnx，(x＞0)，g′(x)=2a-

1

x

g′(x)=0，x=

1

2a

，x∈(0，

1

2a

)，g′(x)＜0；x∈(

1

2a

，+∞)，g′(x)＞0，
∴x=

1

2a

時，取得極小值，即最小值．
當0＜a＜

1

2e

時，g（

1

2a

）=1-ln

1

2a

＜0，f'（x）=0必有根，f（x）必有極值，在定義域上不單調…（13分）
∴a≥

1

2e

                                         …（14分）

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值，考查函數的單調性與導數的關系，考查分類討論思想在分析解決問題中的應用，屬于中檔題．