Question

已知函數f（x）=

1-x

ax

+lnx（a＞0）．
（1）當a=1時，求f（x）在[

1

2

，2]上的最小值；
（2）若函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，求實數a的取值范圍；
（3）當a=1時，求證對任意大于1的正整數n，lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

恒成立．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入函數f（x）的解析式，判斷其單調性進而得到f（x）在[

1

2

，2]上的最小值；
（2）對函數f（x）進行求導，令導函數大于等于0在[1，+∞）上恒成立即可求出a的范圍；
（3）先判斷函數f（x）的單調性，令x=

n

n-1

代入函數f（x）根據單調性得到不等式ln

n

n-1

＞

1

n

，令n=1，2，…代入可證．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=

1-x

x

+lnx則f′（x）=

x-1

x2

，
∴當x∈[

1

2

，1）時，f′（x）＜0，故f（x）在[

1

2

，1）上單調遞減；
當x∈（1，2]時，f′（x）＞0，故f（x）在x∈（1，2]上單調遞增，
∴f（x）在區間[

1

2

，2]上有唯一極小值點，故f（x）_min=f（x）_極小值=f（1）=0
（2））∵f（x）=

1-x

ax

+lnx
∴f′（x）=

ax-1

ax2

（a＞0）
∵函數f（x）在[1，+∞）上為增函數
∴f′（x）=

ax-1

ax2

≥0對x∈[1，+∞）恒成立，
∴ax-1≥0對x∈[1，+∞）恒成立，即a≥

1

x

對x∈[1，+∞）恒成立
∴a≥1
（3）當a=1時，f（x）=

1-x

x

+lnx，f′（x）=

x-1

x2

，
故f（x）在[1，+∞）上為增函數．
當n＞1時，令x=

n

n-1

，則x＞1，故f（x）＞f（1）=0
∴f（

n

n-1

）=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，即ln

n

n-1

＞

1

n

∴ln

2

1

＞

1

2

，ln

3

2

＞

1

3

，…ln

n

n-1

＞

1

n

，
各項相加得ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

=lnn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
∴當a=1時，求證對任意大于1的正整數n，lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

恒成立．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減，屬于中檔題．