Question

（2013•江蘇）已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．
（1）若|

a

-

b

|=

2

，求證：

a

⊥

b

；
（2）設

c

=（0，1），若

a

+

b

=

c

，求α，β的值．

Answer 1

分析：（1）由給出的向量

a

，

b

的坐標，求出

a

-

b

的坐標，由模等于

2

列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0，由此得到結論；
（2）由向量坐標的加法運算求出

a

+

b

，由

a

+

b

=（0，1）列式整理得到α-β=

2

3

π，結合給出的角的范圍即可求得α，β的值．

解答：解：（1）由

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），
則

a

-

b

=（cosα-cosβ，sinα-sinβ），
由|

a

-

b

|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，
得cosαcosβ+sinαsinβ=0．
所以

a

•

b

=0．即

a

⊥

b

；
（2）由

a

+

b

=(cosα+cosβ，sinα+sinβ)=(0，1)
得

cosα+cosβ=0① sinα+sinβ=1②

，①²+②²得：cos(α-β)=-

1

2

．
因為0＜β＜α＜π，所以0＜α-β＜π．
所以α-β=

2

3

π，α=

2

3

π+β，
代入②得：sin(

2

3

π+β)+sinβ=

3

2

cosβ+

1

2

sinβ=sin(

π

3

+β)=1．
因為

π

3

＜

π

3

+β＜

4

3

π．所以

π

3

+β=

π

2

．
所以，α=

5

6

π，β=

π

6

．

點評：本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量的模，考查了同角三角函數(shù)的基本關系式和兩角和與差的三角函數(shù)，解答的關鍵是注意角的范圍，是基礎的運算題．