Question

已知函數，（ 為常數，為自然對數的底）．
（1）當時，求；
（2）若在時取得極小值，試確定的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，設由的極大值構成的函數為，將換元為，試判斷曲線是否能與直線（為確定的常數）相切，并說明理由．

Answer 1

（1）；（2）的取值范圍是；（3）曲線不能與直線相切，證明詳見解析．

試題分析：（1）當時，根據函數的求導法則求出導函數，進而可求出；（2）先根據函數的求導法則求出導函數，進而分、、三種情況進行討論，確定哪一種情況才符合在時取得極小值，進而可確定的取值范圍；（3）根據（2）確定函數的極大值為，進而得出，該曲線能否與直線相切，就看方程有沒有解，進而轉化為求函數的最值問題，利用函數的導數與最值的關系進行求解判斷即可．
試題解析：（1）當時，，
所以 
（2）因為
令，得或
當，即時，恒成立
此時在區間上單調遞減，沒有極小值；
當，即時， 若，則，若，則
所以是函數的極小值點
當，即時，若，則．若，則
此時是函數的極大值點
綜上所述，使函數在時取得極小值的的取值范圍是 
（3）由（2）知當，且時，
因此是的極大值點，極大值為
所以．
令 
則恒成立，即在區間上是增函數
所以當時，，即恒有 
又直線的斜率為
所以曲線不能與直線相切．