Question

（本小題滿分14分）
已知函數是奇函數.
（1）求實數的值；
（2）判斷函數在上的單調性，并給出證明；
（3）當時，函數的值域是，求實數與的值。

Answer 1

（1）（舍去）或.此時函數定義域為 ，關于原點對稱。
（2）由單調函數的定義得：當時，在上是減函數.
同理當時，在上是增函數.
（3），.

試題分析：（1）由已知條件得
對定義域中的均成立.…………………………1分

即        …………………2分
對定義域中的均成立.    即（舍去）或.
此時函數定義域為 ，關于原點對稱。      ……………4分
（2）由（1）得
設，
當時，
.                   ………………6分
當時，，即.………………7分
當時，在上是減函數. ……………………………8分
同理當時，在上是增函數. ……………………9分
（3）函數的定義域為，
① 當時， .
在為增函數，
要使值域為，則（無解）    ………………11分
②當時， .
在為減函數,
要使的值域為, 則
，.           ……………14分
點評：綜合題，本題以復合對數函數為載體，綜合考查對數函數的性質，函數的單調性，函數的奇偶性，對考生數學式子變形能力要求較高。