Question

已知O為平面上的一個定點，A、B、C是該平面上不共線的三個動點，點P滿足條件

OP

=

OB + OC

2

+λ(

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

)，λ∈(0，+∞)，則動點P的軌跡一定通過△ABC的（　　）

A．重心

B．垂心

C．外心

D．內心

Answer 1

分析：確定

BC

與λ(

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

)垂直，設D為BC的中點，可得

OP

=

OD

+

DP

，從而可得結論．

解答：解：∵

BC

•(

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

)=-|

BC

|+|

BC

|=0
∴

BC

與λ(

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

)垂直，
設D為BC的中點，則

OD

=

OB + OC

2

令

DP

=λ(

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

)
∵點P滿足條件

OP

=

OB + OC

2

+λ(

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

)，λ∈(0，+∞)，
∴

OP

=

OD

+

DP

∴點P在BC的垂直平分線上，即P經過△ABC的外心
故選C．

點評：本題主要考查了空間向量的加減法，以及三角形的外心的知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題