Question

如果函數y=f（x）圖象上任意一點的坐標（x，y）都滿足方程1g（x+y）=1gx+1gy，那么正確的選項是（　�。�

A．y=f（x）是區間（1，+∞）上的減函數，且xy≥4

B．y=f（x）是區間（1，+∞）上的增函數，且xy≤4

C．y=f（x）是區間（1，+∞）上的減函數，且xy≤4

D．y=f（x）是區間（1，+∞）上的增函數，且xy≥4

Answer 1

分析：由方程1g（x+y）=1gx+1gy，可得x+y=xy，化為y=

x

x-1

=1+

1

x-1

（x＞1，y＞1），利用反比例函數可得y=f（x）=1+

1

x-1

在（1，+∞）上單調遞減，再利用基本不等式可得xy=x+y≥2

xy

，得到xy≥4．即可．

解答：解：由方程1g（x+y）=1gx+1gy，可得x+y=xy，化為y=

x

x-1

=1+

1

x-1

（x＞1，y＞1），
∴y=f（x）=1+

1

x-1

在（1，+∞）上單調遞減，且xy=x+y≥2

xy

，得到xy≥4．
故選A．

點評：本題考查了對數的運算、函數的單調性、基本不等式等基礎知識與基本方法，屬于中檔題．